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地图投影的概念方法和变形及分类依据

[ 来源:互联网 | 时间:2007年09月19日 | 收藏本文 ] 【

由于球面上任何一点的位置是用地理坐标(λ,φ)表示的,而平面上的点的位置是用直角坐标(χ,у)或极坐标(r, )表示的,所以要想将地球表面上的点转移到平面上,必须采用一定的方法来确定地理坐标与平面直角坐标或极坐标之间的关系。这种在球面和平面之间建立点与点之间函数关系的数学方法,就是地图投影方法。

地图投影变形是球面转化成平面的必然结果,没有变形的投影是不存在的。对某一地图投影来讲,不存在这种变形,就必然存在另一种或两种变形。但制图时可做到:在有些投影图上没有角度或面积变形;在有些投影图上沿某一方向无长度变形。

一、地图投影的概念
地球椭球体表面是个曲面,而地图通常是二维平面,因此在地图制图时首先要考虑把曲面转化成平面。然而,从几何意义上来说,球面是不可展平的曲面。要把它展成平面,势必会产生破裂与褶皱。这种不连续的、破裂的平面是不适合制作地图的,所以必须采用特殊的方法来实现球面到平面的转化。

球面上任何一点的位置取决于它的经纬度,所以实际投影时首先将一些经纬线交点展绘在平面上,并把经度相同的点连接而成为经线,纬度相同的点连接而成为纬线,构成经纬网。然后将球面上的点按其经纬度转绘在平面上相应的位置。由此可见,地图投影就是研究将地球椭球体面上的经纬线网按照一定的数学法则转移到平面上的方法及其变形问题。其数学公式表达为:

χ=f1(λ,φ)         y=f2(λ,φ)       (2-1)

根据地图投影的一般公式,只要知道地面点的经纬度(λ,φ),便可以在投影平面上找到相对应的平面位置(χ,у),这样就可按一定的制图需要,将一定间隔的经纬网交点的平面直角坐标计算出来,并展绘成经纬网,构成地图的“骨架”。经纬网是制作地图的“基础”,是地图的主要数学要素。

二、地图投影的基本方法
地图投影的方法,可归纳为几何透视法和数学解析法两种。

1.几何透视法

几何透视法是利用透视的关系,将地球体面上的点投影到投影面(借助的几何面)上的一种投影方法。如假设地球按比例缩小成一个透明的地球仪般的球体,在其球心或球面、球外安置一个光源,将球面上的经纬线投影到球外的一个投影平面上,即将球面经纬线转换成了平面上的经纬线。

透视投影示意图

几何透视法是一种比较原始的投影方法,有很大的局限性,难于纠正投影变形,精度较低。当前绝大多数地图投影都采用数学解析法。

2、数学解析法

数学解析法是在球面与投影面之间建立点与点的函数关系,通过数学的方法确定经纬线交点位置的一种投影方法。大多数的数学解析法往往是在透视投影的基础上,发展建立球面与投影面之间点与点的函数关系的,因此两种投影方法有一定联系。

三、地图投影的变形
1.地图投影变形的概念

地图投影的方法很多,但用不同的投影方法得到的经纬线网形式不同。下面的图是几种不同投影的经纬线网形状,可以看出,用地图投影的方法将球面转化为平面,虽可保证图形的连续和完整,但投影前后经纬线网的形状却明显不同。这表明,投影以后经纬线网发生了变形,因而根据地理坐标展绘在地图上的各种地面事物也必然随之发生变形。这种变形使地面事物的几何性质(长度、方向、角度、面积)受到了影响。地图投影变形是指球面转换成平面后,地图上所产生的长度、角度和面积误差。

几种不同投影的经纬线形式

 

地球仪是地球的缩影。通过对地图与地球仪上的经纬线网的比较,可以发现地图投影变形表现在长度、面积和角度三个方面。

地球仪上的经纬线的长度具有下列特点:第一,纬线长度不等。赤道最长;纬度愈高,纬线越短;极地的纬线长度为零。第二,在同一条纬线上,经差相同的纬线弧长相等。第三,所有经线长度相等。在同一条经线上,纬差相同的经线弧长相等(椭球体面上,从低纬向高纬稍有加长)。然而在图2-13(a)上,各条纬线长度相等,说明各条纬线并不是按照同一比例缩小的。在图2-13(c)上,同一条纬线上经差相同的纬线弧长不等,从中央向两边逐渐缩小。各条经线长度不等,中央的一条经线最短,从中央向两边逐渐增大。这表明在同一条纬线上由于经度位置的不同,比例发生了变化,从中央向两边比例逐渐缩小,各条经线也不是按照同一比例缩小,但它们的变化却是从中央向两边比例逐渐增大。

地图上的经纬线长度并非都是按照同一比例缩小的,这表明地图上具有长度变形。长度变形的情况因投影而异。在同一投影上,长度变形不仅随地点而变,而且在同一点上还因方向的不同而不同。

地球仪上经纬线网格的面积具有以下特点:第一,在同一纬度带内,经差相同的球面网格面积相等。第二,在同一经度带内,纬度愈高,网格面积愈小。然而地图上却并非完全如此。在图2-13(b、c)上,同一纬度带内,经差相同的网格面积不等,这表明面积并不是按照同一 比例缩小的,面积比例随经度的变化而变化。

由于地图上经纬线网格面积与地球仪上的球面网格面积的特点不同,在地图上经纬线网格面积不是按照同一比例缩小的,这表明地图上具有面积变形。面积变形的情况因投影而异。在同一投影上,面积变形又因地点的不同而不同。

在图2-13(b、c)上,只有中央经线和各纬线相交成直角,其余的经线和纬线均不呈直角相交,而在地球仪上经线和纬线处处都呈直角相交,这表明地图上有角度变形。

地图投影变形是球面转化成平面的必然结果,没有变形的投影是不存在的。对某一地图投影来讲,不存在这种变形,就必然存在另一种或两种变形。但制图时可做到:在有些投影图上没有角度或面积变形;在有些投影图上沿某一方向无长度变形。

2.变形椭圆

地图投影变形随地点的不同而改变,变形椭圆能很好说明投影变形情况。变形椭圆是指地球椭球体面上的一个微小圆,投影到地图平面上后变成的椭圆,特殊情况下为圆。

如下图所求,制作一个半球经纬网立体模型,并在模型的极点和同一条经线上安置几个等大的不透明的小圆,使极点与投影平面相切。在模型的圆心处放一盏灯,经灯光照射以后,在投影平面上就有了经纬线网格。模型上的小圆投影到平面上以后,除了极点处的小圆没有变形外,其余的都变成了椭圆。从实验中可明显看出,无论灯光在什么位置,半球模型与投影平面相切处的小圆都没有变形。离切点愈远,小圆投影的变形愈大,有的方向上逐渐伸长,有的方向上逐渐缩短。

地图投影变形的分布规律是:任何地图都有投影变形;不同区域大小的投影其投影变形不同;地图上存在没有变形的点(或线);距没有变形的点(或线)愈远,投影变形愈大,反之亦然;地图投影反映的实地面积越大,投影变形越大,反之越小。上述规律对地图投影具有普遍性。

投影变形示意图

可证明球面上的一个微小圆,投影到平面上之后是个椭圆。图上中,ADBC 为地面上的微小圆,展在平面上如上图所示,以经纬线为直角坐标轴X、Y;圆上任一点M的坐标x=MJ,y=MK。在投影面上,A´B´为AB 的投影,C´D´为CD的投影,M´为M 的投影。由于投影一般有角度变形,A´B´与C´D不一定为直角相交,故A´B´、C´D´为斜坐标轴系。令其轴为X´、Y ´,则M´的坐标为x´= M´J´,y´=´M´K 。由此可以得出:

地图投影公式

 

这个方程式代表一个以O´为原点,以交角为θ的两个共轭直径为坐标轴的椭圆方程式。这就证明了椭球体面上的微小圆,投影后为椭圆。

在分析地图投影时,可借助对变形椭圆和微小圆的比较,说明变形的性质和大小。椭圆半径与小圆半径之比,可说明长度变形。很显然,长度变形随方向的变化而变化,其中有一个极大值,即椭圆长轴方向,一个极小值,即椭圆短轴方向。这两个方向是相互垂直的,称为主方向。椭圆面积与小圆面积之比,可说明面积变形。椭圆上两方向线的夹角和小圆上相应两方向线的夹角的比较,可说明角度变形。

3. 长度比和长度变形
长度比 µ 是投影面上一微小线段ds’和椭球面上相应微小线段ds之比。用公式表达为:

地图投影公式

长度比用于表示投影过程中,某一方向上长度变化的情况。µ>1,说明投影后长度拉长,µ<1,说明投影后长度缩短了;µ=1,则说明特定方向上投影后长度没有变形。在某一点上,长度比随方向的变化而变化。因此在研究长度比时,只是研究一些特定方向上的长度比,即最大长度比a(变形椭圆长轴方向长度比)、最小长度比b(变形椭圆短轴方向长度比)、经线长度比m和纬线长度比n。如果投影后经纬线呈直角相交,则经纬线长度比就是最大和最小长度比。若投影后经纬线交角为θ,则经纬线长度比m、n 和最大、最小长度比a、b之间具有以下关系:

地图投影

由长度比可引出长度变形的概念。所谓长度变形Vµ就是(ds’-ds)与ds之比,即长度比与1之差,用公式表示为:

由此可见,长度变形是衡量长度变形程度的一个相对概念。Vµ是一个>0,=0和<0的数。

4. 面积比与面积变形
面积比P就是投影面上一微小面积dF,与椭球体面上相应的微小面积dF之比。投影面上半径为r的微分圆,投影到平面上后变成长轴为ar、短轴为br的微分椭圆,则:

地图投影公式

P是个变量,它因点位的不同而不同,是一个>1,=1,<1的数。

用面积比可以说明面积变形。所谓面积变形就是(dF´-dF)与dF之比,即面积比与1之差,以VP表示面积变形,则:

面积变形表明了面积变形的程度,是衡量面积变形的一个相对指标。Vp是一个>0,=0,<0的数,通常用百分比表示,如Vp=2%,即表示该点面积比实际面积扩大了百分之二。

5. 角度变形
投影面上任意两方向线的夹角与椭球体面上相应的两方向线的夹角之差称为角度变形。

过一点可引出许多方向线,每两条方向线均可构成一个角度,这些角度投影到平面上之后,往往与原来的大小不一样,而且不同的方向线组成的角度经投影之后产生的变形也各不相同。也就是说,在某一点上,角度变形值有无数多个。通常在研究角度变形时,不可能、也没有必要一一研究每一个角度变形的数量,而只是研究其最大的角度变形值。

地图投影之角度变形

地图投影公式

四、地图投影的分类
地图投影的产生已经有2000多年的历史,在这期间,人们根据各种地图的要求,设计了数百种地图投影。随着数字制图技术、地理信息系统以及数字地球技术的发展,地图投影的品种还将不断推陈出新。地图投影的分类方法主要有两种。

1.按变形性质分类

等角投影(Conformal  Projection)     投影面上任意两方向线间的夹角与椭球体面上相应方向线的夹角相等,即角度变形为零。ω=0,从公式2-18可知,a=b,m=n,即最大长度比等于最小长度比,变形椭圆是圆而不是椭圆(图-17a)。在小范围内,投影后的图形与实际是相似的,故等角投影又称正形投影。值得注意的是,虽然等角投影在一点上任何方向的长度比都相等,但不同点上的长度比却是不同的,即不同地点上的变形椭圆大小不同,因此从更大范围来看,投影后的图形与实际形状并完全相似。

由于这类投影没有角度变形,便于量测方向,所以常用于编制航海图、洋流图和风向图等。等角投影地图上面积变形较大。

等积投影(Equivalent  Projection)     在投影面上任意一块图形的面积与椭球体面上相应的图形面积相等,即面积变形等于零。为了保持等面积的性质,必须使面积比P=1。从公式2-13可知,a=1/b,即最大长度比和最小长度比互为倒数。因此在等积投影的不同点上,变形椭圆的长轴不断拉长,短轴不断缩短,致使角度变形较大,图形的轮廓形状也随之产生了很大的变化(图2-17c)。

    由于等积投影没有面积变形,能够在地图上进行面积的对比和量算,所以常用于编制对面积精度要求较高的自然地图和社会经济地图,如地质图、土壤图、行政区划图等。

    任意投影( Aphylactic  Projection)      这是一种既不等角也不等积,长度、角度和面积三种变形并存但变形都不大的投影类型。该类投影的角度变形比等积投影小,面积变形比等角投影小。在任意投影中还有一种十分常见的投影,即等距投影。等距投影是指那些在特定方向上没有长度变形的投影,即a=1或b=1、m=1,但并不是说这种投影不存在长度变形(图2-17b)。

    任意投影多用于对投影变形要求适中或区域较大的地图,如教学地图、科学参考图、世界地图等。

不同性质投影上的变形椭圆

2. 投影的构成方法分类
   (1)几何投影    它是把椭球体面上的经纬线网直接或附加某种条件投影到借助的几何面上,然后将几何面展为平面而得到的一类投影,包括方位投影、圆柱投影和圆锥投影三大类。

方位投影(Azimuthal  Projection)      以平面为投影面,使平面与椭球体相切或相割,将球面上的经纬线网投影到平面上而成。在投影平面上,由投影中心(平面与球面相切的点,或平面与球面相割的割线的圆心)向各个方向的方位角与实地相等,其等变形线是以投影中心为圆心的同心圆,切点或相割的割线无变形。这种投影适合作形状大致为圆形的制图区域的地图。按平面与球面的位置又可分为正轴、横轴和斜轴三种类型(图2-18)。

圆柱投影(Cylindrical  Projection)     以圆柱面为投影面,使圆柱面与椭球体相切或相割,将球面上的经纬线网投影到圆柱面上,然后将圆柱面展为平面而成。按圆柱与球面的位置,又可分为正轴、横轴和斜轴三种类型(图2-19)。在正轴圆柱投影中,各种变形都是纬度的函数,与经度无关,等变形线是纬线的平行直线,切线或割线无变形。这种投影适合于制作赤道附近和赤道两侧沿东西方向延长地区的地图。

圆锥投影(Conical  Projection)     以圆锥面为投影面,使圆锥面与椭球体相切或相割,将球面上的经纬线网投影到圆锥面上,然后展平而成。按圆锥与球面的位置又可分为正轴、横轴和斜轴三种类型(图2-20)。在正轴圆锥投影中,各种变形都是纬度的函数,与经度无关,等变形线与纬线平行,呈同心圆弧分布,切线或割线无变形。这种投影适合于制作中纬度东西方向延伸地区的地图。由于地球上广大陆地位于中纬度地区,又因为圆锥投影的经纬线网形状比较简单,所以它被广泛应用于编制各种比例尺地图。

在上述投影中,由于几何面与球面的关系位置不同,又分为正轴、横轴和斜轴三种。正轴投影的经纬线形状比较简单,称为标准网。正轴方位投影的纬线为同心圆,经线为放射性直线,经线间的夹角等于相应的经度差;正轴圆柱投影的纬线为一组平行直线,经线为与纬线垂直且间隔相等的平行直线;正轴圆锥投影的纬线呈同心圆弧,经线呈放射性直线,且经线间的夹角与相应的经差成比例缩小。

正、横、斜圆柱投影示意图

(2)条件投影    是根据制图的某些特定要求,选用合适的投影条件,利用数学解析法确定平面与球面之间对应点的函数关系,把球面转化成平面。

伪方位投影(Pseudo-azimuthal Projection)     据方位投影修改而来。在正轴情况下,纬线仍为同心圆,除中央经线为直线外,其余的经线均改为对称于中央经线的曲线,且相交于纬线的圆心(图2-21)。

伪圆柱投影(Pseudo-cylindrical  Projection)    据圆柱投影修改而来。在正轴圆柱投影的基础上,要求纬线仍为平行直线,除中央经线为直线外,其余的经线均改为对称于中央经线的曲线(图2-22)。

伪圆锥投影(Pseudo-conical Projection )     据圆锥投影修改而来。在正轴圆锥投影的基础上,要求纬线仍为同心圆弧,除中央经线为直线外,其余的经线均改为对称于中央经线的曲线(图2-23)。 

多圆锥投影(Polyconical Projection)     这是一种假想借助多个圆锥表面与球体相切而设计成的投影。纬线为同轴圆弧,其圆心均位于中央经线上,中央经线为直线,其余的经线均为对称于中央经线的曲线(图2-24)。

伪圆柱投影的经纬线形状

伪圆锥投影的经纬线形状

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